Como se hacen las integrales

Como se hacen las integrales

Reglas de integración

La integral de Riemann es inadecuada para muchos fines teóricos. Algunas de las deficiencias técnicas de la integración de Riemann pueden subsanarse con la integral de Riemann-Stieltjes, y la mayoría desaparecen con la integral de Lebesgue, aunque esta última no tiene un tratamiento satisfactorio de las integrales impropias. La integral gauge es una generalización de la integral de Lebesgue que se acerca más a la integral de Riemann.
Estas teorías más generales permiten integrar funciones más “irregulares” o “altamente oscilantes” cuya integral de Riemann no existe; pero las teorías dan el mismo valor que la integral de Riemann cuando ésta existe.
En el ámbito educativo, la integral de Darboux ofrece una definición más sencilla y fácil de trabajar; puede utilizarse para introducir la integral de Riemann. La integral de Darboux se define siempre que existe la integral de Riemann, y siempre da el mismo resultado. Por el contrario, la integral de calibre es una generalización sencilla pero más potente de la integral de Riemann y ha llevado a algunos educadores a defender que debería sustituir a la integral de Riemann en los cursos de introducción al cálculo[2].

Wikipedia

Sin embargo, esta definición venía con restricciones. Se requería que fuera continua y no negativa. Por desgracia, los problemas del mundo real no siempre cumplen estas restricciones. En esta sección, veremos cómo aplicar el concepto de área bajo la curva a un conjunto más amplio de funciones mediante el uso de la integral definida.
El símbolo de la integral en la definición anterior debería resultarnos familiar. Hemos visto una notación similar en el capítulo sobre Aplicaciones de las Derivadas, donde utilizamos el símbolo de la integral indefinida (sin el y por encima y por debajo) para representar una antiderivada. Aunque la notación para integrales indefinidas puede parecer similar a la notación para una integral definida, no son lo mismo. Una integral definida es un número. Una integral indefinida es una familia de funciones. Más adelante en este capítulo examinaremos cómo se relacionan estos conceptos. Sin embargo, siempre hay que prestar mucha atención a la notación para saber si estamos trabajando con una integral definida o con una indefinida.

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De nuevo, es bastante sencillo de hacer siempre que recuerdes cómo hacer las sustituciones. Por cierto, asegúrate de que puedes hacer este tipo de sustituciones de forma rápida y sencilla. A partir de ahora vamos a hacer este tipo de sustituciones en nuestra cabeza. Si tienes que pararte a escribirlas en cada problema, verás que te llevará mucho más tiempo hacer estos problemas.
Observa que técnicamente deberíamos haber tenido una constante de integración en el lado izquierdo después de hacer la integración. Podemos dejarla de lado en este momento, ya que otras constantes de integración aparecerán más adelante y acabarán absorbiendo esta.

Como se hacen las integrales 2021

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La integración es la operación básica del cálculo integral. Mientras que la diferenciación tiene reglas directas por las que la derivada de una función complicada se puede encontrar diferenciando sus funciones componentes más simples, la integración no las tiene, por lo que a menudo son útiles las tablas de integrales conocidas. En esta página se enumeran algunas de las antiderivadas más comunes.
El matemático alemán Meier Hirsch [de] (también conocido como Meyer Hirsch [de]) publicó en 1810 una recopilación de una lista de integrales (Integraltafeln) y técnicas de cálculo integral. Estas tablas se volvieron a publicar en el Reino Unido en 1823. El matemático holandés David Bierens de Haan recopiló tablas más extensas en 1858 para sus Tables d’intégrales définies, complementadas por Supplément aux tables d’intégrales définies en aproximadamente 1864. En 1867 se publicó una nueva edición con el título Nouvelles tables d’intégrales définies. Estas tablas, que contienen principalmente integrales de funciones elementales, se mantuvieron en uso hasta mediados del siglo XX. Después fueron sustituidas por las tablas de Gradshteyn y Ryzhik, mucho más extensas. En Gradshteyn y Ryzhik, las integrales procedentes del libro de Bierens de Haan se denotan por BI.